高职院校自主招生数学试题 两道自主招生试题（数学）

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广东09年高职高考数学试题

2009广东省高职数学试题
一、选择题（15*5=75分）
1、设集合 ，则 （ A ）
A B C D
2、已知 为实数，且 成等比数列，则 （ C ）
A B C D
3、已知函数 （ ，且 ， 是实数）的图像过点 与 ，则 的解析式是（ B ）
A B C D
4、下列向量中与向量 平行的是（ A ）
A B C D
5、函数 是（ A ）
A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数也是偶函数 D既不是奇函数也不是偶函数
6、已知集合 ，则 （ C ）
A B C D
7、设函数 在区间 内是减函数，则 、 、 的大小关系是（ D ）
A B C D
8、设 均为实数，则 是 的（ C ）
A 充分非必要条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件
9、已知直线 ，直线 ，则 与 （ B ）
A 相交不垂直 B 相交且垂直 C 平行不重合 D 重合
10、双曲线 的焦距为（ D ）
A B C D
11、已知函数 （ 为实数）的图像以 为对称轴，则 的最小值为（ B ）
A B C D
12、设 ，如果 ，且 ，那么 的取值范围是（ C ）
A B C D
13、已知直线 与圆 交于两点 和 ， 是坐标原点，则 （ B ）
A B C D
14、设 为等差数列 的前 项和，且 ，则 （ A ）
A B C D
15、将函数 的图像按向量 平移得到的图像对应的一个函数解析式是（ D ）
A B C D
二、填空题（5*5=25分）
16、某服装专卖店今年5月推出一款服装，上市第1天售出20件，以后每天售出的件数都比前一天多五件，则上市的第7天售出这款服装的件数是_50__.

17、已知向量 ，则向量 的模 ___5__.
18、不等式 的解是 .
19、在 中，如果 的对边分别为 ，且满足等式 ，则 .
20、已知 为实数，椭圆 的一个焦点为抛物线 的焦点，则 2.
三、解答题
21、（12分） 为锐角， ，（1）求 （2）求
解： 为锐角， ，所以 ，
时，

22、（12分）已知小王的移动电话按月结算话费，月话费 （元）与通话时间 （分钟）的关系可青示为函数
，其1月分通话费时间为460分钟，月话费为86元.
（1）求 的值.
（2）若小王2、3月的通话时间分别为300分钟、560分钟，求其2,3月份的移动电话费的总和.
解：（1）由 ，
得
解得 ，即
所以 .
（2）2月300分钟，话费为68元
3月560分钟，话费为 元
所以2,3月话费的总和为68+104=172元.

两道自主招生试题（数学）

第一题答案是1。
可以将极限的后面这个式子变形，得到[(n+2)/(n+1)]^(n+1)·[n/(n+1)]^n·[(n+2)/(n+1)]，这整个式子求极限。
这三项分别都有极限，前两项主要运用了
lim(n趋向于无穷）(1+1/n)^n=e
的基本求极限公式。注意，条件是n趋向于无穷，就是说既包含了正无穷也包含了负无穷。
所以，前两项裂项可得
[1+1/(n+1)]^(n+1)，极限e
[[1+1/(-(n+1))]^(-n)]^(-1)，极限1/e
最后结合极限的运算法则分别求三项的极限再相乘即可。

第2题也可以用裂项法求和，先变性到
an=1/[n!·（n+2)]=(n+1)/(n+2)!
到这里一下子没了思路，但我琢磨着这题只能裂项，所以我尝试了下，碰巧上式就等于
1//(n+1)!-1/(n+2)!
所以答案就是1/2-1/102!

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2014年自主招生数学模拟试题

以下是为大家整理的2014年自主招生数学模拟试题的文章，供大家学习参考！

一、选择题(36分)
1.删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个数列的第2003项是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
2.设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax-y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是
3.过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于
(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 83
4.若x∈[-5 12 ，- 3 ]，则y=tan(x+2 3 )-tan(x+ 6 )+cos(x+ 6 )的值是
(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 1253
5.已知x，y都在区间(-2，2)内，且xy=-1，则函数u=44-x2+99-y2的最小值是
(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125
6.在四面体ABCD中， 设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为 3，则四面体ABCD的体积等于
(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33
二.填空题(每小题9分，共54分)
7.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是 .
8.设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于 .
9.已知A={x|x2-4x+3<0，x∈R}，
B={x|21-x+a≤0，x2-2(a+7)x+5≤0，x∈R}
若A B，则实数a的取值范围是 .
10.已知a，b，c，d均为正整数，且logab=32，logcd=54，若a-c=9，则b-d= .
11.将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 .
12. 设Mn={(十进制)n位纯小数0.-a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n-1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则limn→∞SnTn= .
三、(20分)
13.设32≤x≤5，证明不等式
2x+1+2x-3+15-3x<219.
四、(20分)
14.设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点.证明：曲线
Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)
与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点.
五、(本题满分20分)
15.一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A 刚好与点A重合.这样的每一种折法，都留下一条折痕.当A 取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合.
参考答案
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个数列的第2003项是
(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049
解：452=2025，462=2116.
在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数.故1至2025中共有新数列中的2025-45=1980项.还缺2003-1980=23项.由2025+23=2048.知选C.
2.设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax-y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是
解：曲线方程为x2a+y2b=1，直线方程为y=ax+b.
由直线图形，可知A、C中的a0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾.
由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B.
3.过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于
(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 83
解：抛
抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=-33(x-43)+43，令y=0，得点P的坐标为163.
∴ PF=163.选A.
4.若x∈[-5 12 ，- 3]，则y=tan(x+2 3)-tan(x+ 6)+cos(x+ 6)的值是
(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 1253
解：令x+ 6=u，则x+2 3=u+ 2，当x∈[-5 12，- 3]时，u∈[- 4，- 6]，
y=-(cotu+tanu)+cosu=-2sin2u+cosu.在u∈[- 4，- 6]时，sin2u与cosu都单调递增，从而y单调递增.于是u=- 6时，y取得值1163，故选C.
5.已知x，y都在区间(-2，2)内，且xy=-1，则函数u=44-x2+99-y2的最小值是
(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125
解：由x，y∈(-2，2)，xy=-1知，x∈(-2，-12)∪(12，2)，
u=44-x2+9x29x2-1=-9x4+72x2-4-9x4+37x2-4=1+3537-(9x2+4x2).
当x∈(-2，-12)∪(12，2)时，x2∈(14，4)，此时，9x2+4x2≥12.(当且仅当x2=23时等号成立).
此时函数的最小值为125，故选D.
6.在四面体ABCD中， 设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为 3，则四面体ABCD的体积等于
(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33
解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1×3×sinπ3×2=3.
而四面体ABCD的体积=16×平行六面体体积=12.故选B.
二.填空题(每小题9分，共54分)
7.不等式|x|3-2x2-4|x|+3<0的解集是 .
解：即|x|3-2|x|2-4|x|+3<0， (|x|-3)(|x|-5-12)(|x|+5+12)<0. |x|<-5+12，或5-12<|x|<3.
∴ 解为(-3，-5-12)∪(5-12，3).
8.设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于 .
解：F1(-5，0)，F2(5，0);|F1F2|=25.
|PF1|+|PF2|=6， |PF1|=4，|PF2|=2.由于42+22=(25)2.故 PF1F2是直角三角形55.
∴ S=4.
9.已知A={x|x2-4x+3<0，x∈R}，
B={x|21-x+a≤0，x2-2(a+7)x+5≤0，x∈R}
若A B，则实数a的取值范围是 .
解：A=(1，3);
又，a≤-21-x∈(-1，-14)，当x∈(1，3)时，a≥x2+52x -7∈(5-7，-4).
∴ -4≤a≤-1.
10.已知a，b，c，d均为正整数，且logab=32，logcd=54，若a-c=9，则b-d=
解：a3=b2，c5=d4，设a=x2，b=x3;c=y4，d=y5，x2-y4=9.(x+y2)(x-y2)=9.
∴ x+y2=9，x-y2=1，x=5，y2=4.b-d=53-25=125-32=93.
11.将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 .
解：如图，ABCD是下层四个球的球心，EFGH是上层的四个球心.每个球心与其相切的球的球心距离=2.EFGH在平面ABCD上的射影是一个正方形.是把正方形ABCD绕其中心旋转45 而得.设E的射影为N，则
MN=2-1.EM=3，故EN2=3-(2-1)2=22.∴ EN=48.所求圆柱的高=2+48.
12. 设Mn={(十进制)n位纯小数0.-a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n-1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则limn→∞SnTn= .
解：由于a1，a2，…，an-1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2n-1.
在每一位(从第一位到第n-1位)小数上，数字0与1各出现2n-2次.第n位则1出现2n-1次.
∴ Sn=2n-
2 0.11…1+2n-2 10-n.
∴ limn→∞SnTn=12 19=118.
三、(本题满分20分)
13.设32≤x≤5，证明不等式
2x+1+2x-3+15-3x<219.
解：x+1≥0，2x-3≥0，15-3x≥0. 32≤x≤5.
由平均不等式x+1+x+1+2x-3+15-3x4≤x+1+x+1+2x-3+15-3x4≤14+x4.
∴ 2x+1+2x-3+15-3x=x+1+x+1+2x-3+15-3x≤214+x.
但214+x在32≤x≤5时单调增.即214+x≤214+5=219.
故证.
四、(本题满分20分)
14.设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点.证明：曲线
Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)
与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点.
解：曲线方程为：Z=aicos4t+(1+2bi)cos2tsin2t+(1+ci)sin4t=(cos2tsin2t+sin4t)+i(acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t)
∴ x=cos2tsin2t+sin4t=sin2t(cos2t+sin2t)=sin2t.(0≤x≤1)
y=acos4t+2bcos2tsin2t+csin4t=a(1-x)2+2b(1-x)x+cx2
即 y=(a-2b+c)x2+2(b-a)x+a (0≤x≤1). ①
若a-2b+c=0，则Z0、Z1、Z2三点共线，与已知矛盾，故a-2b+c 0.于是此曲线为轴与x轴垂直的抛物线.
AB中点M：14+12(a+b)i，BC中点N：34+12(b+c)i.
与AC平行的中位线经过M(14，12(a+b))及N(34，12(b+c))两点，其方程为
4(a-c)x+4y-3a-2b+c=0.(14≤x≤34). ②
令 4(a-2b+c)x2+8(b-a)x+4a=4(c-a)x+3a+2b-c.
即4(a-2b+c)x2+4(2b-a-c)x+a-2b+c=0.由a-2b+c 0，得
4x2+4x+1=0，
此方程在[14，34]内有惟一解： x=12.
以x=12代入②得， y=14(a+2b+c).
∴ 所求公共点坐标为(12，14(a+2b+c)).
五、(本题满分20分)
15.一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A 刚好与点A重合.这样的每一种折法，都留下一条折痕.当A 取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合.
解：对于⊙O上任意一点A ，连AA ，作AA 的垂直平分线MN，连OA .交MN于点P.显然OP+PA=OA =R.由于点A在⊙O内，故OA=aa)为长轴的椭圆C.
而MN上任一异于P的点Q，都有OQ+QA=OQ+QA >OA .故点Q在椭圆C外.即折痕上所有的点都在椭圆C上及C外.
反之，对于椭圆C上或外的一点S，以S为圆心，SA为半径作圆，交⊙O于A ，则S在AA 的垂直平分线上，从而S在某条折痕上.
最后证明所作⊙S与⊙O必相交.
1 当S在⊙O外时，由于A在⊙O内，故⊙S与⊙O必相交;
2 当S在⊙O内时(例如在⊙O内，但在椭圆C外或其上的点S )，取过S 的半径OD，则由点S 在椭圆C外，故OS +S A≥R(椭圆的长轴).即S A≥S D.于是D在⊙S 内或上，即⊙S 与⊙O必有交点.
于是上述证明成立.
综上可知，折痕上的点的集合为椭圆C上及C外的所有点的集合.

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